Question

2．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}，n=1，2}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥3}\end{array}\right.$，n∈N*，其前n項和為S_n，則$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 通過等比數列的求和公式可知當n≥3時$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，進而取極限可得結論．

解答 解：由題可知$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{7}{4}$，
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查考查數列的通項及前n項和，考查等比數列的求和公式，涉及極限思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．