Question

13．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，且右焦點到一條漸近線的距離為$\sqrt{3}$，雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，又由雙曲線的性質可得b=$\sqrt{3}$，結合c²=a²+b²，計算可得a²的值，將a²、b²的值代入雙曲線方程即可得答案．

解答 解：根據題意，雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，
則e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
又由右焦點到一條漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則有b=$\sqrt{3}$，
又由c²=a²+b²，即4a²=a²+3，
則有a²=1，
則雙曲線的方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，注意雙曲線中焦點到漸近線的距離為b．