Question

5．如圖，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，點D，E分別是AA₁，BC的中點．
（Ⅰ）證明：DE∥平面A₁B₁C；
（Ⅱ）若AB=2，∠BAC=60°，求三棱錐A₁-BDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點F，連結DF、EF，推導出平面DEF∥平面A₁B₁C，由此能證明DE∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）過點A₁作AC的垂線，垂足為H，推導出A₁H⊥底面ABC，由${V}_{{A}_{1}-BDE}={V}_{{A}_{1}-ABE}-{V}_{D-ABE}$，能求出三棱錐A₁-BDE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，取AC的中點F，連結DF、EF，
在△AA₁C中，點D、F分別是AA₁、AC的中點，∴DF∥$\frac{1}{2}$A₁C，
同理，得：EF∥$\frac{1}{2}AB$∥$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}$，DF∩EF=F，A₁C∩A₁B₁=A₁，
∴平面DEF∥平面A₁B₁C，
又DE?平面DEF，
∴DE∥平面A₁B₁C．
解：（Ⅱ）過點A₁作AC的垂線，垂足為H，由題知側面ACC₁A₁⊥底面ABC，
∴A₁H⊥底面ABC，在△AA₁C中，∵∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，∴A₁H=$\sqrt{3}$，
∵AB=2，∠BAC=60°，∴BC=2$\sqrt{3}$，點E是BC的中點，
∴BE=$\sqrt{3}$，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}•AB•BE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∵D為AA₁的中點，
∴${V}_{{A}_{1}-BDE}={V}_{{A}_{1}-ABE}-{V}_{D-ABE}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}H×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{6}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．