Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx-m+$\frac{2}{x+1}$．g（x）=e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（a-$\frac{1}{2}$）x-a+$\frac{1}{2}$．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象C上有兩點(diǎn)P（b，e^b），Q（-b，e^-b），過點(diǎn)P，Q作圖象C的切線分別記為l₁，l₂，設(shè)l₁與l₂的交點(diǎn)為M（x₀，y₀），證明：g（x₀）＞1．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，求得f（x）在（1，f（1））切線方程，即可求得m的值，由f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，則f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$≥0在（0，1）內(nèi)恒成立，a≥$\frac{2x}{（x+1）^{2}}$在（0，1）內(nèi)恒成立；
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線方程，構(gòu)造出新函數(shù)，換元，根據(jù)寒酸的單調(diào)性即可求得的單調(diào)性，求得x₀＞0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得g（x₀）＞1．

解答 解：（1）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$，由f′（1）=a-$\frac{1}{2}$，f（1）=1-m，
則切線方程y-f（1）=f′（1）（x-1），y=（a-$\frac{1}{2}$）x-（a-$\frac{1}{2}$）+1-m，
∴-（a-$\frac{1}{2}$）+1-m=-a+$\frac{1}{2}$，解得：m=1，
∴f（x）=alnx-$\frac{x-1}{x+1}$，在區(qū)間（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，在f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$≥0，（0＜x＜1），…1分
即a（x+1）²-2x≥0，（0＜x＜1），
即a≥$\frac{2x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+2}$，（0＜x＜1），由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=2，則$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+2}$≤$\frac{1}{2}$，在x∈（0，1）內(nèi)恒成立，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）證明：由函數(shù)g（x）=e^x，則g′（x）=e^x，過點(diǎn)P（b，e^b），Q（-b，e^-b），
作曲線C的切線方程為：l₁：y=e^b（x-b）+e^b，l₂：y=e^-b（x-b）+e^-b，
由l₁與l₂的交點(diǎn)為M（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{y={e}^（x-b）+{e}^}\\{y={e}^{-b}（x+b）+{e}^{-b}}\end{array}\right.$，…6分
消去y，解得：x₀=$\frac{b（{e}^+{e}^{-b}）-（{e}^-{e}^{-b}）}{（{e}^-{e}^{-b}）}$，…7分
∴x₀=$\frac{b（1+{e}^{-2b}）}{1-{e}^{-2b}}$-1，設(shè)e^-2b=t，…8分
由b＞0，則0＜t＜1，且lnt=-2b，于是-1=$\frac{2b}{lnt}$，…9分
∴x₀=$\frac{2b}{lnt}$+$\frac{b（1+t）}{1-t}$=b（$\frac{2}{lnt}$+$\frac{1+t}{1-t}$），…10分
由（1）知當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$lnx-$\frac{x-1}{x+1}$在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，…11分
∴f（t）=$\frac{lnt}{2}$-$\frac{t-1}{t+1}$＜f（1）=0，即$\frac{lnt}{2}$＜$\frac{t-1}{t+1}$，…12分
故$\frac{lnt}{2}$+$\frac{t-1}{t+1}$＞0，…13分
已知b＞0，則x₀=b（$\frac{2}{lnt}$+$\frac{1+t}{1-t}$）＞0，
∴g（x₀）＞1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查換元法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．