Question

20．已知點M，N是平面區域$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4≤0}\\{x-2y+4≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$內的兩個動點，$\overrightarrow{a}$=（1，2），則$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{a}$的最大值為（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 10
• C． 12
• D． 8

Answer 1

分析 根據題意作出可行域，平移向量，利用向量數量積的幾何意義即求在$\overrightarrow{a}$上的投影判斷AB兩點的位置，即可得到結論

解答 解：平面區域$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4≤0}\\{x-2y+4≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$的可行域如圖：平移$\overrightarrow{a}$至可行域的M，
由可行域可知，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{a}$的最大值就是$\overrightarrow{MN}$在$\overrightarrow{a}$上的投影取得最大值．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$可得M（2，0），由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$得到N（4，4），$\overrightarrow{MN}$=（2，4），
此時$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{a}$=1×2+2×4=10．
故選：B．

點評 本題考查線性規劃、向量的坐標表示、平面向量數量積的幾何意義等基礎知識，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．