Question

17．若定義在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函數y=f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且當x∈（1，+∞）時，f（x）=|$\frac{2x-3}{x-1}$|則下列結論中錯誤的是（　　）

• A． 存在t∈R，使f（x）≥2在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上恒成立
• B． 存在t∈R，使0≤f（x）≤2在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上恒成立
• C． 存在t∈R，使f（x）在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上始終存在反函數
• D． 存在t∈R⁺，使f（x）在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上始終存在反函數

Answer 1

分析 利用對稱性作出f（x）的函數圖象，根據圖象即可判斷出結論．

解答 解：∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）關于直線x=1對稱，
作出f（x）的函數圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）≥2的解集為（$\frac{3}{4}$，1）∪（1，$\frac{5}{4}$），
∴不存在一個長度為1的區間[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]使得f（x）≥2恒成立，故A錯誤，
由圖象可知0≤f（x）≤2的解集為（-∞，$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞），
∴存在一個長度為1的區間[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]使得0≤f（x）≤2在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上恒成立，故B正確；
由圖象可知f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞）上為單調函數，
∴存在某個區間[t-$\frac{1}{2}$，t$+\frac{1}{2}$]⊆（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），使得f（x）在此區間上存在反函數，
故C，D正確；
故選A．

點評 本題考查了函數的對稱性判斷，函數具有反函數的條件，屬于中檔題．