Question

6．已知點$A（\sqrt{3}，0）$，點P是圓${（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16$上的任意一點，設Q為該圓的圓心，并且線段PA的垂直平分線與直線PQ交于點E．
（1）求點E的軌跡方程；
（2）已知M，N兩點的坐標分別為（-2，0），（2，0），點T是直線x=4上的一個動點，且直線TM，TN分別交（1）中點E的軌跡于C，D兩點（M，N，C，D四點互不相同），證明：直線CD恒過一定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義即可得出E的軌跡方程；
（2）設CD方程x=my+n，代入橢圓方程消元，得出C，D坐標的關系，求出TM，TN的方程，根據交點橫坐標為4得出恒等式，從而得出n的值，即得出直線CD的定點坐標．

解答 解：（1）∵|EA|+|QE|=|EQ|+|PE|=4，且|QA|=2$\sqrt{3}$＜4，
∴點E的軌跡是以A，Q為焦點的橢圓，
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，則2a=4，c=$\sqrt{3}$，∴a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
所以點E的軌跡方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）依題意設直線CD的方程為：x=my+n，
代入橢圓方程x²+4y²=4得：（4+m²）y²+2mny+（n²-4）=0
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{2mn}{{4+{m^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{4+{m^2}}}$．
∵直線TM方程為$y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2）$，直線TN方程為$y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，
由題知TM，TN的交點T的橫坐標為4，∴$\frac{{3{y_1}}}{{{x_1}+2}}=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}$，即3y₁（x₂-2）=y₂（x₁+2），
即：3y₁（my₂+n-2）=y₂（my₁+n+2），整理得：2my₁y₂=（n+2）y₂-3（n-2）y₁，
∴$\frac{{2m（{n^2}-4）}}{{4+{m^2}}}=（n+2）（\frac{-2mn}{{4+{m^2}}}-{y_1}）-3（n-2）{y_1}$
化簡可得：$（n-1）[m（n+2）+{y_1}（4+{m^2}）]=0$．
∵當m，y₁變化時，上式恒成立，∴n=1，
∴直線CD恒過一定點（1，0）．

點評 本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．