Question

16．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，$B=\frac{2π}{3}$，若a²+c²=4ac，則$\frac{{sin（{A+C}）}}{sinAsinC}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4ac-2ac×$（-\frac{1}{2}）$=5ac，再利用正弦定理可得sin²B=5sinAsinC．即可得出．

解答 解：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4ac-2ac×$（-\frac{1}{2}）$=5ac，
∴sin²B=5sinAsinC．
∴$\frac{{sin（{A+C}）}}{sinAsinC}$=$\frac{5sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{5}{sinB}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．