Question

8．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，過點F（c，0）作直線交雙曲線C的兩條漸近線于A，B兩點，若B為FA的中點，且OA=c，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：則△AOF為等腰三角形，且OB⊥AF，根據對稱性求得B和A點坐標，代入漸近線方程，即可求得b²=3a²，根據雙曲線的離心率公式，即可求得答案．

解答 解：雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{b}{a}$x，由題意可知：設A（m，n），由B為FA的中點，且OA=c，
則△AOF為等腰三角形，且OB⊥AF，
由A關于漸近線y=$\frac{b}{a}$x對稱，B（$\frac{m+c}{2}$，$\frac{n}{2}$）則$\frac{n-0}{m-c}$=-$\frac{a}{b}$，且$\frac{n}{2}$=$\frac{b}{a}$×$\frac{m+c}{2}$，
解得：m=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$，
由A在漸近線y=-$\frac{b}{a}$x，則$\frac{2ab}{c}$=-$\frac{b}{a}$×$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，整理得b²=3a²，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
∴雙曲線的離心率e=2，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，雙曲線的漸近線方程及離心率公式，考查計算能力，考查數形結合思想，屬于中檔題．