Question

20．若函數$f（x）=a（{x-2}）{e^x}+lnx+\frac{1}{x}$在（0，2）上存在兩個極值點，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• C． （-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）
• D． （-e，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知：f′（x）=a（x-1）e^x+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$在（0，2）上有兩個零點，a（x-1）e^x+$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，有兩個根，即可求得a=-$\frac{1}{{e}^{x}{x}^{2}}$，根據函數的單調性即可求得a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$在（0，2）上存在兩個極值點，
等價于f′（x）=a（x-1）e^x+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$在（0，2）上有兩個零點，
令f′（x）=0，則a（x-1）e^x+$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，
即（x-1）（ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=0，
∴x-1=0或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，
∴x=1滿足條件，且ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（其中x≠1且x∈（0，2））；
∴a=-$\frac{1}{{e}^{x}{x}^{2}}$，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
設t（x）=e^x•x²，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
則t′（x）=（x²+2x）e^x＞0，
∴函數t（x）是單調增函數，
∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e²），
∴a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）．
故選C．

點評 本題考查了函數導數的綜合應用問題，考查函數極值與零點的應用問題，考查轉化思想與計算能力，是綜合性題目，屬于中檔題．