Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²，若過點(diǎn)（2，n）可作三條直線與曲線y=f（x）相切，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是（　　）

• A． （-5，-4）
• B． （-5，0）
• C． （-4，0）
• D． （-5，-3]

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}$），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，寫出切線方程，把點(diǎn)（2，n）代入切線方程，整理得到$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$．令g（x）=2x³-9x²+12x，利用導(dǎo)數(shù)求其極大值為g（1）=5；極小值為g（2）=4．再由4＜-n＜5求得n的范圍．

解答 解：f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，
設(shè)切點(diǎn)為（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}$），則$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}$．
∴過切點(diǎn)處的切線方程為$y-{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}=（3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，
把點(diǎn)（2，n）代入得：$n-{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}=（3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}）（2-{x}_{0}）$．
整理得：$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$．
若過點(diǎn)（2，n）可作三條直線與曲線y=f（x）相切，則方程$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$有三個(gè)不同根．
令g（x）=2x³-9x²+12x，
則g′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
∴當(dāng)x∈（-∞，1）∪（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有極大值為g（1）=5；當(dāng)x=2時(shí)，g（x）有極小值為g（2）=4．
由4＜-n＜5，得-5＜n＜-4．
∴實(shí)數(shù)n的取值范圍是（-5，-4）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．