Question

20．設$f（x）=x-\frac{a-1}{x}-alnx$（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點$（\frac{1}{2}，f（{\frac{1}{2}}））$處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜1時，在$[\frac{1}{e}，e]$內是否存在一實數x₀，使f（x₀）＞e-1成立？

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，求出切線的斜率，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）只需證明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$時，f（x）_max＞e-1即可，根據函數的單調性求出f（x）的最大值，從而判斷結論即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-lnx，${f^'}（x）=1-\frac{1}{x}$，．…（2分）
所以曲線y=f（x）在點$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$處的切線的斜率為${f^'}（\frac{1}{2}）=1-\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-1$．…（4分）
所求切線方程為$y-（\frac{1}{2}+ln2）=-（x-\frac{1}{2}）$，即x+y-ln2-1=0．…（6分）
（Ⅱ）假設當a＜1時，在$[\frac{1}{e}，{e}]$存在一點x₀，使f（x₀）＞e-1成立，
則只需證明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$時，f（x）_max＞e-1即可．…（8分）
$f'（x）=1+\frac{a-1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（a-1）}}{x^2}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x^2}（x＞0）$，
令f′（x）=0得，x₁=1，x₂=a-1，當a＜1時，a-1＜0，
當$x∈（{\frac{1}{e}，1}）$時，f′（x）＜0；當x∈（1，e）時，f′（x）＞0．
函數f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上遞減，在[1，e]上遞增，…（10分）
∴$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（{e}）\}$．
于是，只需證明f（ e）＞e-1或$f（\frac{1}{e}）＞{e}-1$即可．…（12分）
∵$f（{e}）-（{e}-1）={e}-\frac{a-1}{e}-a-（{e}-1）$=$\frac{{（{e}+1）（1-a）}}{e}$＞0
∴f（ e）＞e-1成立…（14分）
所以假設正確，即當a＜1時，在$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$上至少存在一點x₀，使f（x₀）＞e-1成立．…（15分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．