Question

4．現(xiàn)有10個不同的產(chǎn)品，其中4個次品，6個正品．現(xiàn)每次取其中一個進行測試，直到4個次品全測完為止，若最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)，則該情況出現(xiàn)的概率是$\frac{2}{105}$．

Answer 1

分析 先求出基本事件總數(shù)n=${A}_{10}^{5}$，最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)包含的基本事件為：優(yōu)先考慮第五次（位置）測試．這五次測試必有一次是測試正品，有C₆¹種，4只次品必有一只排在第五次測試，有C₄¹種，那么其余3只次品和一只正品將在第1至第4次測試中實現(xiàn)，有A₄⁴種．根據(jù)分步計數(shù)原理有C₆¹C₄¹A₄⁴種．由此能求出最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的概率．

解答 解：現(xiàn)有10個不同的產(chǎn)品，其中4個次品，6個正品．現(xiàn)每次取其中一個進行測試，
直到4個次品全測完為止，最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)，
基本事件總數(shù)n=${A}_{10}^{5}$，
最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)包含的基本事件為：
優(yōu)先考慮第五次（位置）測試．這五次測試必有一次是測試正品，有C₆¹種，
4只次品必有一只排在第五次測試，有C₄¹種，
那么其余3只次品和一只正品將在第1至第4次測試中實現(xiàn)，有A₄⁴種．
于是根據(jù)分步計數(shù)原理有C₆¹C₄¹A₄⁴種．
∴最后一個次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的概率p=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{4}}{{A}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{105}$．
故答案為：$\frac{2}{105}$．

點評 本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查集合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．