Question

19．已知等邊△ABC的邊長為2，點E、F分別在邊CA、BA上且滿足$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BC}$=3，則$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CF}$=-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 用三角形各邊向量表示出$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}$，再計算$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CF}$．

解答 解：設$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BA}$，
則$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{BC}+λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{CB}+μ\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BC}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$+λ$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=4-2λ，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}$=μ$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2μ，
∵$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BC}=3$，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=（$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{CB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$）=-${\overrightarrow{BC}}^{2}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BA}$=-4+$\frac{3}{2}$+1+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．