Question

7．已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且當x≥0時，f（x）=log₂（x+1）+2^x-a，則滿足f（x²-3x-1）+9＜0的實數x的取值范圍是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根據題意，利用奇函數的性質可得f（0）=log₂（1）+2⁰-a=0，解可得a=1，即可得函數f（x）的解析式，結合指數函數與對數函數的性質分析可得函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，結合函數的奇偶性可得函數f（x）在R上為增函數，由此可以將f（x²-3x-1）+9＜0轉化為x²-3x+2＜0，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：函數f（x）是定義域為R的奇函數，則有f（0）=0，
即f（0）=log₂（1）+2⁰-a=0，
解可得a=1，
則當x≥0時，f（x）=log₂（x+1）+2^x-1，
則有f（3）=log₂（4）+2³-1=9，
又由當x≥0時，f（x）=log₂（x+1）+2^x-1，而函數y=log₂（x+1）和函數y=2^x-1都是增函數，則函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，
又由函數f（x）是定義域為R的奇函數，則在區間（-∞，0]上也是增函數，
故函數f（x）在R上為增函數，
f（x²-3x-1）+9＜0⇒f（x²-3x-1）+f（3）＜0⇒f（x²-3x-1）＜-f（3）⇒f（x²-3x-1）＜f（-3）⇒x²-3x-1＜-3⇒x²-3x+2＜0，
解可得：-1＜x＜2，
即x的取值范圍為（-1，2）；
故選：D．

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是利用函數的奇偶性求出a的值．