Question

9．某學校高三年級有學生500人，其中男生300名，女生200名，為了研究學生的數學成績（單位：分）是否與性別有關，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統計了他們期中考試的數學成績，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的數學成績分成5組，分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中數學成線小于110分的學生中隨機抽取2名學生，求2名學生恰好為一男一女的概率；
（2）若規定數學成績不小于130分的學生為“數學尖子生”，得到如下數據表：請你根據已知條件完成下列2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”？

	數學尖子生	數學尖子生	合計
男生
女生
合計			100

參考數據：

P（K2≥k2）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）計算男生、女生抽取的人數，求出所求的概率值；
（2）根據已知條件填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論．

解答 解：（1）男生抽取 $100×\frac{300}{500}=60$人，
女生抽取100-60=40人，
數學成績少于100分的男生是60×0.005×10=3人，
女生是40×0.005×10=2人；
設“恰好一男一女”為事件A，
則$P（A）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}$；
（2）根據已知條件填寫2×2列聯表如下，

	數尖	非數尖	合計
男	15	45	60
女	15	25	40
合	30	70	100

計算觀測值${K^2}=\frac{{100{{（15×25-15×45）}^2}}}{60×40×30×70}≈1.786＜2.706$，
對照臨界值得，沒有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關．

點評 本題考查了對立性檢驗的應用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是基礎題．