Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點（0，$\sqrt{3}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及焦距．
（Ⅱ）橢圓C的左焦點為F₁，右頂點為A，經過點A的直線l與橢圓C的另一交點為P．若點B是直線x=2上異于點A的一個動點，且直線BF₁⊥l，問：直線BP是否經過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．聯立解得：a，c．即可得出橢圓C的方程及其焦距．
（II）設PA的方程為：my=x-2．（m≠0）．與橢圓方程聯立化為：（3m²+4）y²+12my=0，
解得P$（\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}，\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}）$．設B（2，t），根據$\frac{t}{3}×（\frac{1}{m}）$=-1，解得t=-3m．可得直線BP的方程為：y+3m=k_BP（x-2），可得直線BP經過定點（-2，0）．

解答 解：（I）由題意可得：b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
聯立解得：a=2，c=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦距為2．
（II）設PA的方程為：my=x-2．（m≠0）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3m²+4）y²+12my=0，
解得y_P=$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$，∴x_P=$\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$．
∴P$（\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}，\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}）$．
設B（2，t），則$\frac{t}{3}×（\frac{1}{m}）$=-1，解得t=-3m．
∴直線BP的方程為：y+3m=$\frac{-3m+\frac{12m}{3{m}^{2}+4}}{2-\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}}$（x-2），
化為：4y+m（6+3x）=0，令6+3x=0，4y=0，
解得x=-2，y=0．
∴直線BP經過定點（-2，0）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、一元二次方程的根與系數的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．