Question

4．直線ax+by+1=0與圓x²+y²=1相切，則a+b+ab的最大值為（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由直線與圓相切，列出a，b的關系式，然后利用基本不等式求解表達式的最值．

解答 解：∵直線ax+by=1與圓x²+y²=1相切，
∴圓心O（0，0）到直線ax+by-1=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
即a²+b²=1，則設a=sinα，b=cosα，
a+b+ab=sinα+cosα+sinαcosα=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$sin2α，當$α=\frac{π}{4}$時，兩個表達式同時取得最大值，
所以a+b+ab的最大值為：$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查函數的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．