Question

12．設不等式$\left\{\begin{array}{l}{y＞1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$，表示的平面區域為D．若曲線y=ax²+1上存在無數個點在D內，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 作出區域D，曲線y=ax²+1表示過點A（0，1）的拋物線，可行域存在無數個點滿足拋物線，列出關系式求解可得．

解答 解：作出約束條件不等式$\left\{\begin{array}{l}{y＞1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$所對應的可行域D（如圖陰影），
曲線y=ax²+1上存在無數個點在D內，可知直線2x-y=0與拋物線相切是臨界點，如圖紅色曲線下方滿足題意，
設切點為P（m，2m），
y′=2ax，可得2am=2，2m=am²+1，可得m=1，
解得a=1，
可解得A（1，1），
結合圖象可得要使y=ax²+1與D內存在無數個點落在D上，可得0＜a＜1，
故選：C．

點評 本題考查簡單線性規劃，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．