Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過右焦點F₂（c，0）垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點且|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，又過左焦點F₁（-c，0）任作直線l交橢圓于點M
（1）求橢圓C的方程
（2）橢圓C上兩點A，B關于直線l對稱，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的通徑公式及離心率公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）當直線l的斜率k≠0時，可設直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0），即可求得直線AB的方程，聯立直線與橢圓方程，由△＞0得到k，m的關系式，再由對稱性求得k，m的關系式，此時k不存在；當直線l的斜率k=0時，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）△AOB面積s=x₀y₀，由均值不等式求解．

解答 解：（1）由題意可知橢圓的通徑丨AB丨=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，①
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，②
由①②解得：a²=3，b²=2，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：左焦點F₁（-1，0），
依題意直線l不垂直x軸，當直線l的斜率k≠0時，可設直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）
則直線AB的方程為：y=-$\frac{1}{k}$+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得，（2k²+3）x²-6kmx+3k²m²-6k²=0，
△=（6km）²-4×（2k²+3）（3k²m²-6k²）＞0，則m²k²-2k²-3＜0，
x₁+x₂=$\frac{6km}{2{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}{m}^{2}-6{k}^{2}}{2{k}^{2}+3}$，
設AB的中點為C（x_C，y_C），則x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3km}{2{k}^{2}+3}$，y_C=$\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}$．
點C在直線l上，∴$\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}$=k（$\frac{3km}{2{k}^{2}+3}$+1），則m=-2k-$\frac{3}{k}$，…②
此時m²-2-$\frac{3}{{k}^{2}}$=4k²+$\frac{6}{{k}^{2}}$+4＞0與①矛盾，故k≠0時不成立．
當直線l的斜率k=0時，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）
△AOB面積s=$\frac{1}{2}$×2y₀×x₀=x₀y₀．
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1≥2$\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}}{3}×\frac{{y}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x₀y₀，∴x₀y₀≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴△AOB面積的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，當且僅當$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$時取等號．
△AOB面積的最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，方程思想及運算能力，屬于中檔題．