Question

17．設函數f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x}$-alnx（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=e^x（x²-3x+3），當a≤1時，若存在x₁∈（0，+∞），使得對任意x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，求出函數的導數，求出函數的最小值，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-a）}{{x}^{2}}$，
（Ⅰ）a≤1時，則e^x-a≥0，
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
當1＜a＜e時，由f′（x）＞0，得0＜x＜lna或x＞1，
由f′（x）＜0，得lna＜x＜1，
故f（x）在（lna，1）遞減，在（0，lna），（1，+∞）遞增，
a=e時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞e時，由f′（x）＞0，得0＜a＜1或x＞lna，
由f′（x）＜0，得1＜x＜lna，
故f（x）在（1，lna）遞減，在（0，1），（lna，+∞）遞增，
（Ⅱ）∵x∈（0，+∞），a≤1，
故由（Ⅰ）得f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（1）=e-a，
又g′（x）=x（x-1）e^x，故x∈（0，1）時，g′（x）＜0，
x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，
故g（x）_min=g（1）=e，
由題意得：e-a≤e，即a≥0，
故0≤a≤1即a的范圍是[0，1]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．