Question

11．已知函數f（x）=cos2x，二次函數g（x）滿足g（0）=4，且對任意的x∈R，不等式-3x²-2x+3≤g（x）≤4x+6成立，則函數f（x）+g（x）的最大值為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 4
• D． 7

Answer 1

分析 根據不等式恒成立，求出函數g（x）的解析式，利用二次函數的最值性質以及余弦函數的最值性質進行求解即可．

解答 解：∵二次函數g（x）滿足g（0）=4，
∴設g（x）=ax²+bx+4，
由-3x²-2x+3≤4x+6得3x²+6x+3≥0即3（x+1）²≥0，
即當x=-1時，3（x+1）²=0，此時直線y=4x+6與y=-3x²-2x+3相切，切點為（-1，2），
此時g（x）過（-1，2），則a-2b+4=2，得b=$\frac{a}{2}$+1，
即g（x）=ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4，
由-3x²-2x+3≤g（x）≤4x+6恒成立得
-3x²-2x+3≤ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4≤4x+6，
由-3x²-2x+3≤ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4得（a+3）x²+（$\frac{a}{2}$+3）x+1≥0恒成立，當a=-3時，不滿足條件．
當a≠-3時，$\left\{\begin{array}{l}{a+3＞0}\\{△=（\frac{a}{2}+3）^{2}-4（a+3）=\frac{{a}^{2}}{4}-a-3≤0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞-3}\\{-2≤a≤6}\end{array}\right.$得-2≤a≤6，
由ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4≤4x+6得ax²+（$\frac{a}{2}$-3）-2≤0恒成立，當a=0時，不滿足條件．
當a≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（\frac{a}{2}-3）^{2}+8a=\frac{{a}^{2}}{4}+5a+19≤0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-18≤a≤-2}\end{array}\right.$，得-18≤a≤-2，
綜上a=-2，
則g（x）=-2x²+4，當x=0時函數g（x）取得最大值4，
而當x=0時，f（x）=cos2x也取得最大值1，
則函數f（x）+g（x）=cos2x-2x²+4的最大值為1+4=5，
故選：A

點評 本題主要考查函數最值的求解，根據不等式恒成立，利用待定系數法求出函數的解析式是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．