Question

3．已知定義在R上的函數y=f（x）滿足：①對于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；②函數y=f（x+2）是偶函數；③當x∈（0，2]時，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，a=f（-5），b=f（$\frac{19}{2}$）．c=f（$\frac{41}{4}$），則a，b，c的大小關系是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． c＜a＜b
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 根據條件分別判斷函數的周期性和對稱性，結合函數單調性，進行轉化求解即可．

解答 解：由f（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），即函數的周期是4，
∵函數y=f（x+2）是偶函數，∴f（-x+2）=f（x+2），即函數關于x=2對稱，
當x∈（0，2]時，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$為增函數，
則f（-5）=f（-5+8）=f（3）=f（1），
f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{19}{2}$-8）=f（$\frac{3}{2}$），
f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{41}{4}$-8）=f（$\frac{9}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$+2）=f（-$\frac{1}{4}$+2）=f（$\frac{7}{4}$），
∵1＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{7}{4}$，∴f（1）＜f（$\frac{3}{2}$）＜f（$\frac{7}{4}$），
即a＜b＜c，
故選：A

點評 本題主要考查函數值的大小比較，利用函數周期性，對稱性以及單調性的性質進行轉化是解決本題的關鍵．