Question

13．若函數f（x）=ax²+（a²+1）x-a（a＞0）的一個零點為x₀，則x₀的最大值為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 利用求根公式求出x₀，得出x₀關于a的函數，令t=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$，則將函數轉化為x₀關于t的函數，利用導數求出函數的最大值即可．

解答 解：解方程得x=$\frac{-{a}^{2}-1±\sqrt{（{a}^{2}+1）^{2}+4{a}^{2}}}{2a}$，
∴x₀=$\frac{-{a}^{2}-1+\sqrt{{a}^{4}+6{a}^{2}+1}}{2a}$=-（$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$）+$\sqrt{\frac{{a}^{4}+6{a}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=-（$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$）+$\sqrt{（\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}）^{2}+1}$，
令t=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$，則t≥2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，x₀=-t+$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
設g（t）=-t+$\sqrt{{t}^{2}+1}$，則g′（t）=-1+$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{t-\sqrt{{t}^{2}+1}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$＜0，
∴g（t）在[1，+∞）上單調遞減，
∴g（t）≤g（1）=$\sqrt{2}$-1，
∴x₀的最大值為$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，函數最值的計算，換元法解題思想，屬于中檔題．