Question

3．已知a，b均為正數，且a+b=1，c＞1，則（$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1）•c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$的最小值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過置換1可知$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1≥$\sqrt{2}$，進而再次利用基本不等式可得結論．

解答 解：因為a+b=1，
所以$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1=$\frac{{a}^{2}+（a+b）^{2}}{2ab}-1$=$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$即a=$\sqrt{2}$-1、b=2-$\sqrt{2}$時取等號，
所以（$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1）•c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$≥$\sqrt{2}$c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$=$\sqrt{2}$（c-1+$\frac{1}{c-1}$+1）≥3$\sqrt{2}$，
當且僅當c=2時取等號，
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查基本不等式，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．