Question

8．已知點P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上的動點，EF為圓N：x²+（y-1）²=1的任一直徑，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$最大值和最小值是（　　）

• A． 16，12-4$\sqrt{3}$
• B． 17，13-4$\sqrt{3}$
• C． 19，12-4$\sqrt{3}$
• D． 20，13-4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據題意，得|NE|=|NF|=1且$\overrightarrow{NF}=-\overrightarrow{NE}$，由此化簡得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1，根據橢圓方程與兩點的距離公式，求出當P的縱坐標為-3時，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最大值20，由此即得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1的最大值，當P的縱坐標為$2\sqrt{3}$時，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最小值$13-4\sqrt{3}$，由此即得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1的最小值．

解答 解：∵EF為圓N的直徑，∴|NE|=|NF|=1，且$\overrightarrow{NF}=-\overrightarrow{NE}$，
則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NF}$）
=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$$-\overrightarrow{NE}$ ）
=${\overrightarrow{PN}}^{2}-{\overrightarrow{NE}}^{2}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1，
設P（x₀，y₀），則有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1$即x₀²=16-$\frac{4}{3}$y₀²
又N（0，1），∴$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}=-\frac{1}{3}（{y}_{0}+3）^{2}+20$，
而y₀∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，
∴當y₀=-3時，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最大值20，則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1=20-1=19，
當y₀=$2\sqrt{3}$時，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最小值$13-4\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1=$13-4\sqrt{3}$-1=$12-4\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$最大值和最小值是：19，$12-4\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了向量知識以及配方法的運用，屬于中檔題．