Question

18．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=3a_n-3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2a_n-3n，求數列{b_n}的n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推公式即可求出數列{a_n}的通項公式，
（2）根據等差數列和等比數列的前n項和公式計算即可．

解答 解：（1）2S_n=3a_n-3，
∴當n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，
兩式相減得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
∴{a_n}是以3為公比的等比數列，
當n=1時，2S₁=3a₁-3，
∴a₁=3，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=3×3^n-1=3ⁿ，
（2）b_n=2a_n-3n=2×3ⁿ-3n，
∴T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ）-3（1+2+3+…+n）=2×$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-3×$\frac{n（n+1）}{2}$=3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-3．

點評 本題考查了數列的遞推公式和等差數列和等比數列的前n項和公式，屬于中檔題．