Question

3．△ABC中，內角A、B、C對應的邊為a、b、c，且滿足a•sinA+c•sinC-$\sqrt{2}$a•sinC=b•sinB
（1）求B；
（2）若A=75°，b=2，求a、c．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理化簡已知的等式，利用余弦定理求出cosB的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值，求出角B的值；
（2）由兩角和的正弦公式求出sin75°，由正弦定理求出求出邊a、c的值．

解答 解：（1）因為a•sinA+c•sinC-$\sqrt{2}$a•sinC=b•sinB，
所以由正弦定理得，${a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}ac=^{2}$，即${a}^{2}+{c}^{2}-^{2}=\sqrt{2}ac$，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$  …（3分）
因為0°＜B180°，所以B=45°  …（5分）；
（2）因為sinA=sin75°=sin（30°+45°）
=sin30°cos45°+cos30°sin45°
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，…（6分）
所以由正弦定理得，$a=\frac{b•sinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$1+\sqrt{3}$  …（8分）
$c=\frac{b•sinC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$，則a=$1+\sqrt{3}$，c=$\sqrt{6}$  …（10分）

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查化簡、計算能力．