Question

17．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系可得：a_n+1=2a_n+1，變形為：a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*），
∴當n≥2時，S_n=2S_n-1+n，
∴a_n+1=2a_n+1，
變形為：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數列{a_n+1}是等比數列，公比為2，首項為2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$1-\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、數列遞推關系、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．