Question

9．如圖，四邊形ABEF為矩形，四邊形CEFD為直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P為AD的中點，且AB=EC=$\frac{1}{2}$FD．
（1）求證：CD⊥平面ACF；
（2）若BE=2AB，求二面角B-FC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過證明AF⊥CD，CD⊥FC．即可證明CD⊥平面ACF．
（2）利用空間直角坐標系，通過求解平面的法向量，利用向量的數量積求解即可．

解答 （1）證明：∵AF⊥EF，平面ABEF⊥平面CEFD，平面ABEF∩平面CEFD=EF，
∴AF⊥平面CEFD，從而AF⊥CD．
設Q為DF的中點，連接CQ．
∵四邊形CEFD為直角梯形，EC=$\frac{1}{2}$FD=FQ，EC=AB=EF，
∴四邊形CEFQ為正方形，△CQD為等腰直角三角形．
∴∠FCD=90°，即CD⊥FC．
又AF∩CF=F，∴CD⊥平面ACF…（6分）
（2）解：以F為坐標原點，FE，FD，FA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角 坐標系，設AB=1，則BE=2，FD=2．

∴F（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，2），D（0，2，0），A（0，0，2），P（0，1，1），
故$\overrightarrow{FC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，2），$\overrightarrow{FP}$=（0，1，1），設平面SFC的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），則$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FC}=0$，$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FB}=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，則$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-2，2，1）．
同理可得，平面FCP的一個法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，1）．
∴cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由圖可知，二面角B-FC-P的余弦值為：$-\frac{\sqrt{3}}{3}$…（12分）

點評 本題考查二面角的平面鏡的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．