Question

17．定義在R上的函數f（x）滿足：f'（x）-f（x）＞1，且f（0）=3，則不等式f（x）＞4e^x-1（其中e為自然對數的底數）的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 設g（x）=e^-xf（x）+e^-x，利用導數性質得y=g（x）在定義域上單調遞增，從而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞4•e^x-1（其中e為自然對數的底數）的解集

解答 解：設g（x）=e^-xf（x）+e^-x，
則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）-e^-x=e^-x[f'（x）-f（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＞1，∴f（x）-f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，g（0）=4，
∵f（x）＞4•e^x-1，∴e^-xf（x）＞4-e^-x，得到g（x）＞4=g（0），
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞4•e^x-1（其中e為自然對數的底數）的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查函數的解集的求法；關鍵是利用已知條件適當構造新函數，利用函數的單調性求不等式的解集．