Question

5．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC，3b=2a，2≤a²+ac≤18，設△ABC的面積為S，p=$\sqrt{2}$a-S，則p的最小值是$\frac{7\sqrt{2}}{9}$．

Answer 1

分析 根據題意，利用正弦定理求得a、b、c的關系，以及a的取值范圍，再利用余弦定理求得cosB、sinB 的值，從而求得△ABC的面積S，寫出p的解析式，利用二次函數的性質即可求得p的最小值．

解答 解：△ABC中，由sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC，
利用正弦定理得c=3a-3b，
再根據3b=2a，2≤a²+ac≤18，
可得c=a，b=$\frac{2a}{3}$，1≤a≤3．
由余弦定理得 b²=$\frac{{4a}^{2}}{9}$=a²+a²-2a•a•cosB，
求得cosB=$\frac{7}{9}$，
∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{1}{2}$a²•$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$•a²，
故p=$\sqrt{2}$a-S=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a²，
利用二次函數的性質結合a的范圍可得
當a=1時，p取得最小值是$\frac{7\sqrt{2}}{9}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用問題，也考查了二次函數的最值問題，是綜合性題目．