Question

14．求函數y=cos²x-2sinx的值域．

Answer 1

分析 換元sinx=t，則函數化成y=（1-t²）-2t=-（t+1）²+2，其中t∈[-1，1]．然后根據二次函數在閉區間上的最值，即可求出函數y=cos²x-2sinx的值域．

解答 解：設sinx=t，則cos²x=1-t²，
∴y=cos²x-2sinx=（1-t²）-2t=-（t+1）²+2，
∵t=sinx∈[-1，1]，
∴當t=-1時，y_max=2；當t=1時，y_min=-2，
因此，函數y=cos²x-2sinx的值域是[-2，2]．

點評 本題給出含有三角函數式的“類二次”函數，求函數的值域．著重考查了三角函數的最值和二次函數在閉區間上的值域等知識，屬于中檔題．