Question

3．已知向量$\vec m=（2cosx，-\sqrt{3}sinx），\vec n=（cosx，\;2cosx）$，設(shè)函數(shù)$f（x）=\vec m•\vec n，\;x∈R$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性得出結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)題意，本題即求函數(shù)k=f（x） 的值域，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域，即為所求．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）根據(jù)方程f（x）-k=0在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上有實(shí)數(shù)根，可得k=f（x） 成立，
由x∈$[0，\frac{π}{2}]$，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，∴f（x）∈[-1，2]，
即k的范圍為[-1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．