Question

14．已知定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：任意x₁，x₂∈（1，1），都f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$）成立；
（1）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由；   
（2）若f（$\frac{1}{2}$）=1，求f（$\frac{13}{14}$）的值．

Answer 1

分析 （1）賦值，利用奇函數的定義，即可得出f（x）是奇函數；
（2）由f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$），f（$\frac{1}{2}$）=1，得f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{4}{5}$）=2，即可求f（$\frac{13}{14}$）的值．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-1，1）．
∵f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$），
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數；
（2）∵f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$），f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{4}{5}$）=2
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{4}{5}$）=f（$\frac{13}{14}$）=3．

點評 本題考查函數的奇偶性，考查函數值的計算，考查賦值法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．