Question

4．方程4^x+2^x=a²+a有正根，則實數a的取值范圍是（-∞，-2）∪（1，+∞）；若函數f（x）=ln（x²+ax+1）的值域為R，則實數a的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 令2^x=t＞1由題意可得方程 t²+t=a²+a 有大于1的解；y=x²+ax+1 要取盡所有的正數，即△=a²-4≥0．

解答 解：令2^x=t＞1，題意可得方程 t²+t=a²+a＞有大于1的解，
 函數y=t²+t  （t＞1）的值域為（2，+∞），∴a²+a＞2，即a∈（∞，-2）∪（1，+∞）；
  f（x）=ln（x²+ax+1）的值域為R，y=x²+ax+1 要取盡所有的正數，即△=a²-4≥0⇒a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
故答案：（-∞，-2）∪（1，+∞）；（-∞，-2]∪[2，+∞）

點評 本題考查一元二次方程根的個數及根的存在性的判斷，體現了換元的數學思想，屬于中檔題．