Question

16．?x∈（0，+∞），不等式a^x＞log_ax（a＞0，a≠1）恒成立，則a的取值范圍是$[{e}^{\frac{1}{e}}，+∞）$．

Answer 1

分析 依題意，當a＞1時，問題等價于a^x≥x在區間（0，+∞）上恒成立，構造函數f（x）=a^x-x，則f′（x）=a^xlna-1，可求得x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$時函數f（x）取到最小值，從而可得a的取值范圍；再分析0＜a＜1時的情形，即可得答案．

解答 解：當a＞1，由題意可得y=a^x與y=log_ax互為反函數，
故問題等價于a^x≥x（a＞0，a≠1）在區間（0，+∞）上恒成立．
構造函數f（x）=a^x-x，則f′（x）=a^xlna-1，
令f′（x）=0，得x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$，且此時函數f（x）取到最小值，
故有${a}^{{log}_{a}\frac{1}{lna}}$＞${log}_{a}\frac{1}{lna}$≥0，解得a≥${e}^{\frac{1}{e}}$；
當0＜a＜1時，不符合條件，舍去，
故a的取值范圍是：a≥${e}^{\frac{1}{e}}$；
故答案為：$[{e}^{\frac{1}{e}}，+∞）$．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查轉等價化思想與分類討論思想，利用y=a^x與y=log_ax互為反函數，當a＞1時，問題等價于a^x≥x在區間（0，+∞）上恒成立是關鍵，也是難點，考查利用導數研究函數的單調性與最值，屬于難題．