Question

6．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，5a²-5c²=5b²-8bc，邊b，c是關于x的方程：x²-（12tanA）x+25cosA=0的兩個根（b＜c），D為△ABC內任一點，點D到三邊的距離和為d．
（1）求邊a，b，c；
（2）求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）邊b，c是關于x的方程：x²-（12tanA）x+25cosA=0的兩個根求出b與c的關系，利用余弦定理求解A．即可求邊a，b，c．
（2）設點D到三邊距離分別為x，y，z，利用三角形面積公式和由線性規劃求解．

解答 解：（1）∵5a²-5c²=5b²-8bc，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，那么：tanA=$\frac{3}{4}$．
由邊b，c是關于x的方程：x²-（12tanA）x+25cosA=0的兩個根：
則有：$\left\{\begin{array}{l}{b+c=12tanA}\\{bc=25cosA}\\{b＜c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{c=5}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即a的值為3，b的值為4，c的值為5．
（2）設點D到三邊距離分別為x，y，z．
由${S}_{ABC}=\frac{1}{2}（3x+4y+5z）=6$
z=$\frac{1}{5}（12-3x-4y）$，
則d=$\frac{12}{5}+\frac{1}{5}（2x+y）$
由線性規劃：$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y≤12}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
可得：$\frac{12}{5}＜d＜4$
即d的取值范圍是（$\frac{12}{5}$，4）．

點評 本題考查了二次方程的根與系數的關系和余弦定理的運用．三角形面積公式和線性規劃求解范圍問題．屬于中檔題．