Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1$），$\overrightarrow{n}$=（$cos\frac{x}{4}，co{s}^{2}\frac{x}{4}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）記f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$在△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據數量積等式并化簡，得到sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，觀察所求與已知角的關系，利用誘導公式解答；
（2）利用已知的三角等式化簡，求得B，結合（1）的解析式以及角度范圍求f（A）的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+co{s}^{2}\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
所以sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴cos（$\frac{2π}{3}-x$）=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
（2）（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴sin（$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1）．
又∵f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了平面向量的數量積公式的運用以及三角函數恒等式的變形；熟練運用倍角公式化簡是關鍵；本題注意A 的范圍．