Question

（本題滿分14分）．已知函數．

（1）當時，函數取得極大值，求實數的值；

（2）已知函數，在區間內存在唯一，使得．設函數（其中），證明：對任意，都有；

（3）已知正數滿足，求證：對任意的實數，若時，都有．

 

Answer 1

（1）；

（2）令，

則．

因為函數在區間上可導，則根據結論可知：存在使得．

又，

當時，，從而單調遞增，；

當時，，從而單調遞減，；

故對任意，都有．

（3）因為且，，

同理，

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．

【解析】

試題分析：（1）求出原函數的導函數，由求出的值，再將的值代入原函數，可得其導函數，令導函數大于0和導函數小于0，可分別判斷函數的單調區間，進而確定函數在處取得極大值；（2）構造輔助函數，求導后得到，由已知函數在區間上可導，則存在使得．又，則求出，然后在，內的符號判斷其單調性，從而說明對任意，都有；（3）根據已知條件利用作差法得到，然后結合第（2）問的結論即可得出答案．

試題解析：(1)由題設，函數的定義域為，且

所以，得，此時．

當時，，函數在區間上單調遞增；

當時，，函數在區間上單調遞減．

函數在處取得極大值，故．

（2）令，

則．因為函數在區間上可導，則根據結論可知：存在使得．

又，

當時，，從而單調遞增，；

當時，，從而單調遞減，；

故對任意，都有．

（3）因為且，，

同理，

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．