Question

17．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-x，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$的值域為[3，+∞），則實數的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． （1，2）
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出當x≤2時函數的值域為[3，+∞），可得要使函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-x，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$的值域為[3，+∞），則當x＞2時，f（x）=2+log_ax≥3恒成立．即log_ax≥1．然后對a分類討論求解a的范圍．

解答 解：當x≤2時，f（x）=5-x≥3，
要使函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-x，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$的值域為[3，+∞），
則當x＞2時，f（x）=2+log_ax≥3恒成立．
即log_ax≥1．
若0＜a＜1，則log_ax＜0，log_ax≥1不成立；
若a＞1，則由log_ax≥1=log_aa，得a≤x．
∵x＞2，∴a≤2．
即1＜a≤2．
∴實數的取值范圍是（1，2]．
故選：A．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查分段函數值域的求法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．