Question

8．已知函數f（x）=log₃（x²-4x+m）．
（1）若f（x）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）若f（x）的圖象過點（0，1），解不等式：f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）由題意得，x²-4x+m＞0在R上恒成立，等價于△=16-4m＜0，解得m
（2）由f（x）的圖象過點（0，1），得m=3，由f（x）≤1，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+3＞0}\\{{x^2}-4x+3≤3}\end{array}}\right.$，解得0≤x＜1，或3＜x≤4即可

解答 解：（1）由題意得，x²-4x+m＞0在R上恒成立，
等價于△=16-4m＜0，解得m＞4，
所以實數m的取值范圍是（4，+∞）…（6分）
（2）由f（x）的圖象過點（0，1），得log₃m=1，m=3，
由f（x）≤1，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-4x+3＞0}\\{{x^2}-4x+3≤3}\end{array}}\right.$，解得0≤x＜1，或3＜x≤4，
所以原不等式的解集為[0，1）∪（3，4]…（12分）．

點評 本題考查了對數函數的性質，考查了解對數不等式，屬于中檔題．