Question

18．已知${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中二項式系數和為32，$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中的各項系數的和為2，則該展開式中的常數項為-40．

Answer 1

分析 由${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中二項式系數和為32求得n=5，再由$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中的各項系數的和為2求得a=1，寫出$（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的展開式的通項，分別乘以x，$\frac{1}{x}$，再由x的指數為0求得r值，則展開式中的常數項可求．

解答 解：由${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中二項式系數和為32，得2ⁿ=32，解得n=5．
又$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中的各項系數的和為2，
∴令x=1，得（a+1）•1⁵=2，得a=1．
∴$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）（2x-\frac{1}{x}）^{5}$，
$（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的通項${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（2x）^{5-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=$（-1）^{r}•{2}^{5-r}{•C}_{5}^{r}•{x}^{5-2r}$．
∴$（x+\frac{1}{x}）（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的展開式中的通項有$（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}•{x}^{6-2r}$或$（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}•{x}^{5-3r}$．
由5-3r=0，得r=$\frac{5}{3}$，不合題意；
由6-2r=0，得r=3，則展開式中的常數項為$（-1）^{3}•{2}^{2}{•C}_{5}^{3}=-40$．
故答案為：-40．

點評 本題考查二項式定理的應用，著重考查了二項展開式的通項，是中檔題．