Question

10．已知$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1），求：
（1）|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標求出向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐標．
（1）直接利用向量模的公式求得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）求出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|及（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），代入數量積求夾角公式得向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1），
∴$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2，4）+（1，-1）=（3，3），
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（1，2）-（1，-1）=（0，3）．
（1）|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$；
（2）|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=（3，3）•（0，3）=3×0+3×3=9．
設向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角為θ（0≤θ≤π），
∴cosθ=$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{9}{3\sqrt{2}×3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查平面向量數量積的坐標運算，訓練了利用數量積求兩向量的夾角，是中檔題．