Question

13．已知F是雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦點，P為左支上任意一點，點$A（{0，6\sqrt{6}}）$，當△PAF的周長最小時，點P坐標為$（{-2，2\sqrt{6}}）$．

Answer 1

分析 求出左焦點H的坐標，由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周長的最小值，同時求出直線AH的方程，聯立雙曲線的方程，解方程可得P的坐標．

解答 解：∵F是雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦點，
∴a=1，b=2$\sqrt{2}$，c=3，F（3，0 ），左焦點為H（-3，0），
由雙曲線的定義可得|PF|-|PH|=2a=2，（P在左支上），
又點$A（{0，6\sqrt{6}}）$，
|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|
≥2a+|AH|=2+$\sqrt{9+216}$=2+15=17，
∵|AF|=$\sqrt{9+216}$=15，
∴當且僅當A，P，H共線時，△PAF周長取得最小值為17+15=32．
由直線AH：$\frac{x}{-3}$+$\frac{y}{6\sqrt{6}}$=1，
代入雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$，解得x=-2，y=2$\sqrt{6}$，
即有P（-2，2$\sqrt{6}$），
故答案為：（-2，2$\sqrt{6}$）．

點評 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，把|PF|+|PA|化為2a+|PH|+|PA|是解題的關鍵．