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16.關于下列命題:
①函數$y=cos({2x+\frac{π}{3}})$的一條對稱軸為直線:$x=-\frac{π}{6}$;
②函數$y=cos2({\frac{π}{3}-x})$是偶函數;
③函數$y=4sin({2x-\frac{π}{3}})$的一個對稱中心是$({\frac{π}{6},0})$;
④函數$y=sin({x+\frac{π}{4}})$在閉區間$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上是增函數
寫出所有所有正確的命題的序號:①③.

分析 利用誘導公式化簡函數的解析式,再利用正弦函數、余弦函數的奇偶性、單調性以及它們的圖象的對稱性,得出結論.

解答 解:令x=-$\frac{π}{6}$,求得cos(2x+$\frac{π}{3}$)=1,為函數$y=cos({2x+\frac{π}{3}})$的最大值,故①函數$y=cos({2x+\frac{π}{3}})$的一條對稱軸為直線$x=-\frac{π}{6}$,正確.
∵函數$y=cos2({\frac{π}{3}-x})$=cos($\frac{2π}{3}$-2x)=-sin($\frac{π}{6}$-2x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)是非奇非偶函數,故②錯誤;
令x=$\frac{π}{6}$,求得函數$y=4sin({2x-\frac{π}{3}})$=0,故該函數的圖象的一個對稱中心是$({\frac{π}{6},0})$,故③正確;
在閉區間$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上,x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],故函數$y=sin({x+\frac{π}{4}})$在閉區間$[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]$上不是增函數,故④錯誤,
故答案為:①③.

點評 本題主要考查誘導公式,正弦函數、余弦函數的奇偶性、單調性以及它們的圖象的對稱性,屬于基礎題.

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