Question

11．設平面直角坐標系原點與極坐標極點重合，x軸正半軸與極軸重合，若已知曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{{3{{cos}^2}θ+{{sin}^2}θ}}$，點F₁，F₂為其左右焦點，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數，t∈R）
（1）求直線l的普通方程和曲線C的參數方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程消去參數t可得普通方程．曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，再求出參數方程．
（2）利用點到直線的距離公式，可得結論．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數，t∈R），普通方程為x-y-1=0；
曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{{3{{cos}^2}θ+{{sin}^2}θ}}$，直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）；
（2）設P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），曲線C上的點到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-1|}{\sqrt{2}}$，
∴曲線C上的點到直線l的最大距離為$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．