Question

1．設數列{a_n}滿足對任意m，n∈N^*總有a_m+n=a_ma_n成立，且a₁=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=log₂a_n，試求數列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足對任意m，n∈N^*總有a_m+n=a_ma_n成立，且a₁=2．可得a_n+1=a₁a_n=2a_n，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=n．可得S_n，$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．再利用“裂項求和方法”即可得出．

解答 解：（1）數列{a_n}滿足對任意m，n∈N^*總有a_m+n=a_ma_n成立，且a₁=2．
∴a_n+1=a₁a_n=2a_n，
∴數列{a_n}是等比數列，公比為2，∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n．
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、“裂項求和方法”、遞推公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．