Question

13．如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面是正三角形）ABC-A₁B₁C₁中，D是AC邊的中點．
（1）求證：AB₁∥平面DBC₁；
（2）當CA₁⊥AB₁時，求證：CA₁⊥平面DBC₁．

Answer 1

分析 （1）連接CB₁，設與BC₁交于點E，則E為CB₁的中點，由三角形的中位線的性質可求DE∥AB₁，進而可證AB₁∥平面DBC₁；
（2）由CA₁⊥AB₁，DE∥AB₁，可證CA₁⊥DE，利用正三棱柱的性質及面面垂直的性質可求BD⊥平面AA₁C₁C，進而利用線面垂直的性質可求BD⊥CA₁，利用線面垂直的判定定理即可得證．

解答 證明：（1）如圖，連接CB₁，設與BC₁交于點E，則E為CB₁的中點，連接DE，
又∵D是AC邊的中點．
∴DE∥AB₁，
∵DE?平面DBC₁；AB₁?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁；
（2）∵CA₁⊥AB₁，DE∥AB₁，
∴CA₁⊥DE，
又∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BD⊥平面AA₁C₁C，可得：BD⊥CA₁，
又DE∩BD=D，
∴CA₁⊥平面DBC₁．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，正三棱柱的性質及面面垂直的性質，線面垂直的性質的應用，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．