Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2017）²f（x+2017）-9f（-3）＞0的解集（　　）

• A． （-∞，-2010）
• B． （-∞，-2014）
• C． （-2014，0）
• D． （-2020，0）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=x²f（x），x∈（-∞，0），對(duì)g（x）求導(dǎo)分析可得g（x）在（-∞，0）遞減，原問題轉(zhuǎn)化為g（2017+x）＞g（-3），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式組，解出即可．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=x²f（x），x∈（-∞，0），
故g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
而2f（x）+xf'（x）＞x²，
故x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
（x+2017）²f（x+2017）-9f（-3）＞0，即（x+2017）²f（x+2017）＞（-3）²f（-3），
則有g(shù)（x+2017）＞g（-3），
則有x+2017＜-3，
解可得x＜2020；
即不等式（x+2017）²f（x+2017）-9f（-3）＞0的解集為（-∞，-2010）；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），并利用導(dǎo)數(shù)分析g（x）的單調(diào)性．